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十字相乘法是什么
十字相乘法
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：1.提公因式法 2.公式法 3.双十字相乘法 4.轮换对称法 5.拆添项法 6.配方法7.因式定理法 8.换元法 9.综合除法 10.主元法 11.特殊值法 12.待定系数法 13.二次多项式。
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
十字分解法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是整数范围内）。对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
中文名
十字相乘法
外文名
Cross multiplication
别名
十字相乘
表达式
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
适用领域
因式分解题目，数学
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判定运算举例分解因式例题解析重难点注意事项
原理
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。
则：/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此：M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)
上面的计算过程可以抽象为：
A ^C-B
^C
B^ A-C
这就是所谓的十字分解法。X增加，平均数C向A偏，A-C(每个A给B的值）变小，C-B(每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。
判定
对于形如ax2+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字分解法分解因式时，可以使用Δ=b2-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。
运算举例
例1：a2+a-42
首先，我们看看第一个数，是a2，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a+?)×(a-?)，
然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×(-7)也可以分解成 -21×2 或者21×(-2)或者±3×±14。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除前者。
然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6。
所以a2+a-42就被分解成为(a+7）×(a-6），这就是通俗的十字分解法分解因式。
具体应用
双十字分解法是一种因式分解方法。对于型如 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字分解法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
例2：3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
因为3=1×3，-2=2×(-1)，-4=(-1)×4，
而1×(-1)+3×2=5，2×4+(-1)(-1)=9，1×4+3×(-1)=1
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例3：ab+b2+a-b-2
=0×1×a2+ab+b2+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2）
提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。
例4：2x^4+13x^3+20x2+11x+2
=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x2+3x+1)(x2+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x2+5x+2)
分解二次三项式时，我们常用十字分解法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字分解法分解因式。
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字分解法，分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字分解法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
(x+2y)(2x-11y)=2x^2-7xy-22y^2；
(x-3)(2x+1)=2x^2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字分解法．也是俗称的“主元法”
用双十字分解法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
⑴用十字分解法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列）；
⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
f(x)=x2-3x+2，g(x)=x^5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)至少有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。
分解因式
例1、因式分解。
x2-x-56
分析：因为7x + (-8x) =-x
解：原式=(x+7)(x-8)
例2、因式分解。
x2-10x+16
分析：因为-2x+(-8x)=-10x
解：原式=(x-2)(x-8)
例3、因式分解。
6y2+19y+15
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字分解法进行因式分解。
因为
9y + 10y=19y
解：原式=(2y+3)(3y+5)
例4、 因式分解。
14x2+3x-27
分析：因为
21x+(-18x)=3x
解：原式=(2x+3)(7x-9)
例5、 因式分解。
10(x+2)2-29(x+2)+10
分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为
-25(x+2)+= -29(x+2)
解：原式=<
