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• 如图，已知AB是是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB
• 如何证明圆的直径所对的圆周角是直角

如图，已知AB是是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB

答案

（1）证明：连接BC，如图所示.

∵直线CD与圆O相切于点C，

∴∠DCA=∠B.

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∴∠ADC=∠ACB.

∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ADC=90°，即AD⊥CD.

（2）解：∵∠DAC=∠CAB，∠DCA=∠B，

∴△ADC∽△ACB，

∴ADAC=ACAB.

∵AD=2，AC=√5，

∴AB=52.

如何证明圆的直径所对的圆周角是直角

如图：AB是圆O的直径，C是圆上一点。

连接OC，

由圆的性质，各条半径都相等可得：OC=OA=OB

此时三角形AOC与三角形BOC都是等腰三角形。

所以∠A=∠ACO,∠BCO=∠B

由三角形内角和为180度，

所以∠A+∠B+∠ACO+∠BCO=180º

由此可得：2(∠ACO+∠BCO_)=2∠ABC=180º

所以∠ACB=90º

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