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数学的基本结构（张景中）
数学研究的对象，慢慢地显露出了它的轮廓。它研究结构——从不同的系统中抽象出来的共同结构。
首先是集合。集合好像是一片空地、一张白纸、一群没有分派角色的演员。
一旦在集合的元素之间引进一些关系，集合的元素就有了自己的个性，根据关系的性质，集合上开始出现结构。
结构不是人主观上随意指派的，也不是在理念世界永恒存在的，它是总结大量感性经验上升为概念的结果。
布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构即母结构有三种：
一种叫做代数结构。集合上有了运算，能够从两个元素生出第三个来，就叫做有了代数结构。前面我们刚刚谈过的群，就是一种基本的代数结构。
一种叫序结构。集合中某些元素之间有先后顺序关系，就叫做有了序结构。序结构也是应用极广的一种结构。数的大小关系，生物的亲子关系，类的包含关系，都是序关系。
还有一种叫拓扑结构。它用来描述连续性、分离性、附近、边界这些空间性质。
我们看到，这几种结构恰好都是现实世界的关系与形式在我们头脑中的反映：
代数结构——运算——来自数量关系；
讲序结构——先后——来自时间观念；
拓扑结构——连续性——来自空间经验。
然而这些东西一旦抽象成数学概念，成为脱离具体内容的*结构*，它就可以用到任何有类似性质的系统之中，而不一定与时空、数有关了。
一个系统可以具有几种结构。如实数系，它有加减与乘除，这是两种互相联系的代数结构，它有大小之分，这是序结构，它的连续性体现了拓扑结构。
基本结构可以加上一些公理派生出子结构，两种以上的结构可以加上联结条件产生复合结构。对于实数，如果a》b，则a+c》b+c，这就表明代数结构与序结构联系起来了。通过结构的变化、复合、交叉，形成形形色色的数学分支，表现为气象万千的数学世界。
当数学家遇到新的研究对象之后，他自然而然地会想，所遇的事物能不能放到某个已知的结构之中?如果可以，便马上动用这个结构的全部已知性质作为克敌制胜的武器。
历史上有过这样的例子：数学家长期不能理解复数，把它叫做虚数。后来发现，复数可以用平面上的点表示，这个发现相当于把复数的代数结构与平面的拓扑结构挂上了钩。复数的研究立刻有了实际意义，找到了应用，获得飞速发展。这表明，把新的陌生的对象纳入已知的结构之中是多么重要。
布尔巴基学派也承认，把数学看成研究各种结构—-这些结构以几种母结构为骨架不断地生长、发展——的科学，仍然是对数学现状的粗略的近似。
可以将数学看成是一个不断发展着的大城市，城市的建筑被街道分隔，又由街道联系起来。街道形成结构，建筑在结构的规范中生长。可是确有很多有特色的建筑，它的特点无法由街道的结构来解释。这就是结构观点的概括性。它无法关心的某些与结构关系不大的局部状况，有时也有重要的意义。例如，数论中的大量孤立的问题(如哥德巴赫问题)，就很难与已知结构很好地联系起来。
布尔巴基学派也主张，结构不应当是静止的，数学的发展可能会发现新的重要基本结构。因为数学是一门生命力旺盛的科学，对它不能“盖棺论定”，不会有终极的真理。
总的看来，布尔巴基学派把数学看成以结构为对象的科学，这种观点是与辩证唯物论一致的。因为：它否定了数学知识的先验观点，主张结构来源于人们实践的经验，正确地描述了数学中结构概念的抽象形成过程；它用整体的观点看数学，着眼于数学各部门的内在联系，说明了是什么使数学统一起来并使它有多样性；它用变化发展的观点看数学，主张结构不是一成不变的；它主张数学的真理性最终要用科学的实践来检验，用科学上的成功经验支持结构观点。
结构观点的产生，不是偶然的。布尔巴基学派自己指出：这是半个多世纪以来(即从19世纪末期到20世纪中期)数学进步的结果。其实也可以说是两千多年数学进步的结果。公理方法从欧几里得开始，到非欧几何产生之后，数学家开始有了现代的公理化观点。这种方法经过第三次数学危机的考验，特别是由于形式主义学派尔伯特的大力提倡，在数学实践中已生根开花，终于更上一层楼，形成了“结构”的观念。
一开始，人们追求公理的完备性或完全性。也就是说，在公理系统中，任何一个命题的成立与否，只能有唯一的解答。这样，具有完全性的公理系统，实质上只能描述一种对象。例如，欧几里得的几何公理，所描述的对象形式上尽管可以多种多样，但是本质上只有一种，这就使公理系统应用的广泛性受到削弱。去掉平行公理，几何公理系统失去了完备性，可是它的适用范围更广了。在去掉了平行公理的几何体系中，证明了的定理，在欧氏几何和罗氏几何中都成立。如果再去掉一些公理，用剩下的公理推证出来的定理，在欧氏、罗氏和黎氏几何中都成立，叫做“绝对几何”的定理。
数学家们发现，公理系统的不完全性不是坏事，而是好事。不完全，可以容纳更丰富的对象。公理是对所研究对象的限制。限制愈多，研究面愈窄；限制适当减少，研究成果的适用范围就更丰富了。
在这种认识的启迪下，数学家们研究了许多不完全的公理系统，如群、环、域、线性空间、概率论、测度论，等等。数学实践证明，对不完全公理系统的研究有强大的生命力，它促使人们对公理系统进行分解，分解成一些更基本——更不完全的公理体系，终于促成了结构观点的出现。
大题全国只有两人做对，高考数学最难有多难
数学应该是很多人上学时的噩梦，因为难度过高，数学也成为高考中的拉分项，只要其他科目不过于差，数学拿高分的人一般都能考出一个好成绩。数学是大多数学生的弱项，而且要学起来太难了，因此每年高考数学这一科的平均分都比其他几科低很多。
在我国高考历史上，最低数学平均分出现在1984年，这一年的数学高考题目是公认最难的。1984年的时候正值高考改革，数学考试的难度大大增加，令无数考生心碎。最后出来的成绩，全国平均分只有二十六分，北京市的平均分更是只有可怜的十七分。大部分考生只会做上面的几道选择题，后面的大题完全不会做，考完之后考场全是抱怨的声音。
不止学生们觉得试题离谱，很多数学老师都觉得这些题目超纲了。高考就是考验学生们过去三年学得是否扎实，但这些数学题目很多都没有见过，学生完全没学过，就算再厉害的人也做不出来吧。为了彻底弄清楚这次考试的难度，安徽省做了一次抽样调查，选择安徽省的原因是此前安徽省的理科成绩一直位于全国前列。
调查中一共选取了七百五十份试卷，其中9.8%的分数在二十分以下，39.7%没有达到三十分，60.5%在四十分以下，81.5%没有超过五十分。调查样本全是来自理科生的，他们的数学成绩都比文科生要好，要是抽取文科生的卷子，调查结果可能会更加惨烈。
在理科成绩较好的安徽，抽取数学成绩较好的学生试卷，最终却得到了这样的结果，可见当年的数学卷子真的存在很大的问题。
一般数学卷子的最后一道大题是最难的，而当年出的那份数学试卷，后面的大题难度都非常高，在抽查的试卷里面，只有1.1%的学生答对了这六道大题，26.1%的人一道题都没有写出来，大题一分都没拿到。最后一道大题依旧是难度最高的，命题意图虽然也和以前一样，都属于递归数列问题，但在难度上和以前完全不是一个等级的，包含的很多知识高中生可能都还没接触到。
据说这道大题当时全国范围内只有两个人回答正确，这两个人自然也拿到了高分，其他的学生全军覆没。那一年的数学高考卷甚至还遭到了《人民教育》的痛批，《人民教育》发文称，这一年的数学卷子完全不符合高考的标准和原则，也脱离了现行中学数学教学要求，试题刁钻古怪，分配不均。
这一年的高考给了很多人一个深刻的教训，尤其是出题老师，在出高考题的时候更加注重题目的平衡性了，之后再也没有出现过难度这么夸张的高考试题。但偶尔也会有出题老师剑走偏锋，要出点难题来为难学生们。比如2008年的高考中，江西高考数学卷又出现了一道超级难题。
这道大题价值十四分，而江西省内所有学生在这一题上取得的平均分只有0.31分，完全写对并且获得高分的人低于十人。这道题不仅让学生们
