这次我们聊聊运放的增益带宽积 - 飞外

 

之前讲运放的运放的输入偏置与失调电流的时候就挖过坑说要讲一讲运放的增益带宽这个事情，好几个月过去了，这次我来填坑了~

以下是正文部分~

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Ideal Amplifier（理想运放）

运算放大器的接法变化很多，但都可以基本抽象为两种接法，同相放大和反相放大。当我们将运算放大器视为理想运放的时候，增益为无穷大，所以在负反馈的系统中，输入信号 为0，因此满足虚短，即同相输入端电压为0。再根据续断，可以推导出，对于理想运放，反相放大器的增益为 。

同相放大器接法如下图所示，同理可以推导出增益为

So far, so easy，一个运放在理想条件下直接理解成一个比例环节，这在通常情况下大大简化我们的电路分析。但是哲学告诉我们，理想的元器件都是不存在的，而器件的非理想特性也会给电路带来一个额外的特性。而其中一个比较关键的问题就是运放的带宽问题，错误的使用方法可能会导致环路震荡或者说高频信号放大增益偏离设计值。而这些问题就和本篇文章要提到的增益带宽积息息相关。

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Non-ideal Amplifier（非理想运放）Gain Bandwidth Product（增益带宽积）

所谓的增益带宽积，顾名思义指的是运放的增益和带宽的乘积，而这个乘积往往是个常数，且等于运放的开环增益穿越0dB的时候的频率。别急，下面解释为什么。

查阅运放的datasheet都会看到增益随频率的波特图，就是一个低通滤波器的形状，如下图所示。

一般来说，运放在其带宽范围内是一个单极点系统（极点一般在几百Hz，然后带宽之外还会有第二个极点）。因此，在运放带宽范围内， 可以近似表达为

其中， 为运放的低频极点。在高于极点的频段，增益以-20dB/dec的斜率衰减。所以频率每增大十倍，对应的增益就下降十倍，所以这条线上的所有点都满足增益与频率的乘积为常数。当增益 降为0dB时，也就是上图中绿色的线与横轴的交点，此时的频率就等于这个常数，也就是增益带宽积（Gain Bandwidth Product, GBW）。而且，不光对于开环运放满足增益*频率=GBW，这个结论对于闭环运放也是同样的成立。也就是说，假定运放的GBW为10MHz，那么在闭环接法放大倍数为10倍的时候，带宽就只有1MHz，这是之前一直困扰我的点，为什么闭环系统也会有满足和开环系统一样的关系？下面就来推导，首先需要看非理想情况下的放大器增益。

有限增益下，反相放大器的传函推导

，为一个反相放大器，输入信号为 ，输出信号为 ，运放的输入信号为 ，增益为 。

根据运放的增益关系以及电路的KCL方程可以得到

求解得到输出电压和输入电压的闭环增益 满足

定义 ，就可以化简上面的表达式为

同相放大器增益推导

对于同相放大器，可以按照同样的方式进行推导，电路图如下所示

同样，根据运放的增益方程以及电路的KCL方程，可以得到

求解得到

统一的增益表达式

根据上面的推导，可以发现二者都可以写成一个统一的形式，即

其中

因此如果两个系统用的运放是一样的，反馈电阻也是一样的，那么这两个系统的闭环性能就是一样的。而且系统的闭环性能直接取决于 以及 。当频率比较低的时候，运放的 较大，使得 ，从而得到闭环传递函数 这一点是和理想运放的增益是基本吻合的，也就是说在低频段，我们的确可以将运放做近似理想的处理以简化分析。在高频的时候， 变小，使得闭环增益的分母变大，从而使得闭环增益下降，此时运放的增益不再等于理想运放的增益。而具体是以什么样的趋势下降，转折点又是在哪里，这就需要用到增益带宽积的性质。

增益带宽积与闭环传递函数带宽的关系

增益带宽积通常用于评估闭环运放的带宽性能。闭环传递函数的带宽我们定义为当闭环增益下降为设计增益的0.707（即 ）时的频率。根据前面的推导，闭环传递函数的可以统一表达为

注意到这个表达式右半部分是与运放怎么接是没有关系的，无论是同相放大器还是反相放大器。而 就衡量了这个运放维持增益基本等于理想增益的能力。

我们看下图，黑色细线表示的就是开环增益 的波特图，黑色粗线表示的是一个同相放大器闭环增益 的波特图，在低频段等于 。 与 的距离等于 。所以，当 与 相交的时候， 。而此时，由于 处于-20dB/dec的区段，故其相位为-90，因此可以直接将 。所以在交点对应的频率下， ，所以(巴黎世家是什么梗？2020年的七夕时，Balenciaga依靠“土味广告”成功出圈，迅速在时尚圈掀起了一场流量与话题的狂欢，当时无一不在诟病七夕限定的“土味”。之后又凭借巴黎世家的经典字母袜再次火了起来，短视频平台的播放量一路飙升，让印有 Logo 的黑丝愈发受宠。)这个点所在的频率下，闭环系统的增益已经下降为低频增益的0.707倍，必然这个点的频率也就是我们所要求的闭环传函的-3dB带宽了。

由于这个交点自然也在开环的波特图的-20dB的线上，所以有闭环传递函数的增益与其带宽乘积等于增益带宽积！！因此增益 。所以对于同相放大器来讲，闭环的增益与带宽的乘积等于增益带宽积。对于反相放大器而言，理想增益和同相放大器略有不同（相差一个系数）。不过，根据前面讲到的，增益也就是相差一个系数而已，而且，反相放大器的带宽和同相放大器是一样的，所以对于反相放大器而言，满足

闭环系统带宽也可能小于增益带宽积与增益的比值

实际的运放不光要考虑增益带宽积的因素，还需要考虑输出压摆率(Slew rate)的问题。压摆率不够也会限制运放的带宽性能，因此实际应用中，二者取低的那个就是运放实际的带宽啦~

如何利用运放的增益带宽积来设计放大器

刚刚我们已经推倒，对于同相放大器而言，其带宽满足

而对于反相放大器而言，其带宽满足

因此如果闭环增益比较小的话，同相放大器天然能够比反相放大器实现更高的带宽。假定运放的增益带宽积为10MHz，设计一个闭环增益为4的系统。那么如果用同相放大器来实现，带宽为2.5MHz，用反相实现，带宽为2MHz。那假定我们还是用这款运放，在实现同样的闭环增益下，能否实现更高的带宽呢？可以，用两级的结构，如下图所示，两级的增益均为2，闭环极点都在5MHz，所以两级系统的带宽为3.2MHz。带宽计算公式如下。这个应该是在当初的模电书上有写的，只不过当时学的时候不怎么用得到，都快淡忘了。

总结

好啦，以上就是增益带宽积填坑内容，如果你觉得还可以，麻烦动动手指点个赞加个收藏，这是对我最大的鼓励！

参考资

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