无穷问题的由来
全体自然数与它们的平方数，哪个多哪个少？这是意大利著名科学家伽利略在1638年提出的一个问题。
就人们的常识来说，自然数的平方仍是自然数，这样自然数平方的集合N₁应该是自然数集的一个真子集，所以自然数集中元素的个数应该多于集合N₁中元素的个数。但是从另一个角度讲，每个自然数都唯一对应了一个平方数，且两集合元素都是无穷的，两者好像很难比较。伽利略本人对这个问题困惑不解，同时代的其他科学家也甚为迷惘，不知道如何作答，因为不管如何回答都会自相矛盾。后来人们把这个问题称为伽利略悖论。所谓“悖论”就是自相矛盾的命题，谁能料想，正是从解决类似“悖论”出发，200多年后诞生了一门成为整个数学基础的学科——集合论。
历史上人们对“无穷”的理解经历了潜无穷与实无穷的多次争辩。
数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。康托尔的朴素集合论就是建立在实无穷的基础之上。举个形象点的例子就是，一条线段上的点有无数个，但是这条线段本身又是有限的。
数学上的潜无穷思想是指：把无限看作是永远在延伸着的，一种变化着、成长着的东西来解释。它永远处在构造中，永远无法完结，是潜在的、永远在创造着的过程。按照此观点，自然数不能构成为一个集合，因为这个集合是永远也完成不了的，它不能构成一个实在的整体，而是永远都在构造之中。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无数个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的时候。
其实，早在古希腊时代，无穷集合就已经引起数学家和哲学家的注意了。其中，芝诺(约公元前490前430)提出的悖论可能是与无穷有关的最早记录。其中一个是说物体的运动是无法完成的，因为若物体要运动一段距离，则它需要先运动到这段距离的一半处，则它又需要先运动到一半的一半处，这个过程会一直持续无法终结，所以物体无法运动。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。其实，尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒……，好像永远无穷无尽，但时间是正常流动的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，然而加起来只是个常数而已，也就是1秒。不过芝诺将无穷以悖论的形式掲露出来，迫使人们去思考，对数学的发展无疑起到了积极的影响。
古希腊的亚里士多德也考虑过无穷集合。但他不承认一个无穷集合可以作为固定的整体而存在。对他来说，集合只能是潜无穷而不可能是实无穷。
中国古代也很早就注意到了“无穷”，《庄子・天下篇》中的“一尺之種，日取其半，万世不竭”，就蕴涵着无穷的观念。
伽利略在他的《两门新科学》中提出：两个不等长的线段AB与CD上的点可以构成一一对应(见下图),从而可以想象它们含有同样多的点。加之他注意到前面的正整数可以和它的平方数构成一一对应，这就会导致无穷大的不同的“数量级”。伽利略说这是不可能的：所有的无穷大数量都一样，不能比较大小。他确实与无穷集合作过斗争，但却因为它们不可理喻而放弃了。
直到中世纪，关于是否有实实在在无穷多个元素的集合这个问题，哲学家们仍然是各执一词，众说纷纭。当时人们已经注意到这样的事实：把两个同心圆上的点用公共半径连起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系，但大圆的周长却比小圆的长，人们对这样的问题无法解释。
但是，微积分的创立却成为解决无穷问题的催化剂，因为微积分最初是不严密的。微积分在创立之初采用的是实无穷的思路，将微积分中的dx, dy等符号视为实际存在的无穷小量，而dy/dx则是它们之间的比值，也就是无限小尺度下的斜率。在牛顿、莱布尼兹的时代，实无穷的概念虽然符合直觉，但是却被批评为不够严谨。后来，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（1815-1897）创建极限的潜无穷描述，提出极限的ε-δ语言，替代实无穷作为微积分的基础，被学界认为是微积分的一大胜利，它能够严谨地表示与证明，其定义和证明的过程都不涉及实际的无限小"量"，而以可无限趋近的"程序"代替。再后来，1960年代初，德国数学家亚伯拉罕·鲁滨逊提出非标准分析，构建了超实数系，使数学分析回到实无穷的思路上(不过这不是学界的主流，数学界还是以ε-δ语言为主)。
在微积分的背景下，关于无穷集合的许多问题就再也无法回避了。19世纪末，一位年轻的德国数学家用无与伦比的超人智慧拨去笼罩在无穷集合上的重重迷雾，终于使人们看清了“无穷”的真面目，他就是建立“无穷集合论”的德国数学家康托尔(1845-1918)。
康托尔与集合论
康托尔致力于思考如何比较两个无穷集合的规模。由于元素的“多少”已不适用于无穷集合，所以必须重新定义“一样多”。对于两个有限集，我们可以把“一样多”定义为元素个数相同，这与我们的直觉完全一致，几乎没有任何理解障碍。但是对于两个无穷集，就不能如此了，因为我们无法确定无穷集的元素个数。
怎么解决这个问题呢？康托尔提出一种创新思路，就是抛弃直接计算元素个数这种低级方法，采用所谓的对应关系来比较集合的规模：如果两个无穷集之间能够建立一一对应，我们就认为这两个无穷集的元素“一样多”，称两个集合具有相同的“势”( power),或者说有相同的“基数”( cardinal number)。
这个解决方案好不好呢？也许是好的。因为它不仅解决了无穷集比较规模的困难，而且这种比较标准对于有限集也是同样适用的。
按照康托尔的方法可以得到很多结果：自然数与其平方数一样多，偶数与自然数一样多，负整数与整数一样多…，因为它们之间都能构建一一对应关系。
然而，这种反直觉的观点，却让人很难接受(例如自然数中除了偶数还有奇数，让人很难相信它们是一样多的)。也许，真正让我们困惑的并不是集合论的思想，而是我们根深蒂固的整体大于部分的朴素直觉。这个直觉对有限集来说是十分自然的，但是放在无穷集的场合就不成立了，换句话说，如果我们承认集合论，就不得不抛弃整体大于部分这个传统观点，这或许正是我们接纳集合论所必须付出的代价。
这个代价值得吗？在很多人看来，并不值得。在康托尔创立集合论的初期，主流数学界就把他天才而大胆的想法视为异端邪说，甚至把他逼成了疯子。但是现在，集合论的思想已经被普遍接受了。何以如此？也许是因为集合论能够解决的问题比它制造的麻烦远远多得多。
自然数集是数学家最钟爱的集合，所以康托尔用数集来阐明他关于“势”的概念，他引进了“可数”(enumerable)这个词，对于凡是能和自然数集构成一一对应的任何一个集合都称为可数集合，并且是最小的无穷集合。
首先，康托尔证明了全体有理数集合是可数的。这与直觉有很大出入，因为有理数是“稠密的”，即在任何两个不同的有理数之间都存在无数个有理数，而自然数却不是。对于这个结论，康托尔给出了著名的“对角线证明”：
把正有理数排列成如上图形式的阵列。其中，第一行依大小次序包括所有以1为分母的正分数，即全体正整数；第二行依大小次序包括所有以2为分母的正分数；第三行依大小次序包括所有以3为分母的正分数……显然，每个正有理数都出现在这个阵列中(因为有理数就是分数)。必须注意的是，其中有些有理数是重复出现的。现在我们从 开始，按照箭头所示的方向依次指定1对应 ,2对应 ,3对应 ,4对应 ……每一个有理数必将在某一步对应于一个被指定的自然数。于是，上面列出的有理数集合与自然数集合构成一一对应。把重复的去掉后，这个有理数集合仍然是一个无穷集合。从而必然是可数的，因为可数集合是最小的无穷集合。
康托尔同样以另一个“对角线方法”证明了实数集是不可数的：
假设所有实数都和自然数构成一一对应，把所有实数都写成无限小数（如果是有限小数，就在其后面加 0 ，把它变成无限小数），按照一个列表一一列出，比如：
a1 = 0.0147574628…a2 = 0.3721111111…a3 = 0.2323232323…a4 = 0.0004838211…a5 = 0.0516000000…………
康托尔发现总能找到至少一个列表之外的数，来说明这个列表不全。他构造了这么一个小数，小数点后第一位不等于 a1 的第一位，小数点后第二位不等于 a2 的第二位，总之小数点后第 i 位不等于 ai 的第 i 位。这个数显然不在列表里，因为它和列表里的每一个数都有至少一位是不同的。这样就证明了实数是不可数的。
按照康托尔的这个观点，可以推得许多看似“荒谬绝伦”的结论：有限线段上的点与无限直线上的点一样多；一米长的线段上的点与地球表面上的点一样多;地球表面上的点与地球内部的点“一样多”；两个球内的点与其中一个球内的点也“一样多”等等。他明确指出：实数比有理数多，无理数比有理数多，在数轴上，有理数点与无理数点相比少得几乎可以忽略不计，等等。
举例来说,当x∈(-π/2,π/2)时,有tanx∈(-∞,+∞),数集(-π/2,π/2)与(-∞,+∞)构成了一一对应，从而这两个集合中的数“一样多”：
这里稍微
